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*実力分布関数によって期待勝率を求める
実力分布関数をf(x)とし,プレイヤーA,BのレーティングをそれぞれX,X+aとする。
BがAに勝つためには,BがA以上の実力を発揮すればよい。
いま,Aがwの実力を出したとすると,Bはw以上の実力を発揮しなければいけない。その確率は
&size(90%){+∞}
&size(200%){∫} f(X+a) dX (εは>0の小さな値)
&size(90%){w+ε}
となる。
(εはいくらでも小さくできるので0としても差支えない)
※ 実際のレーティングは整数値をとることがほとんどだが,便宜上,連続値をとるものとして考える
よって,Aがwの実力を発揮したとき,Bが勝つ確率は,
&size(90%){+∞}
f(w)&size(200%){∫} f(X+a) dX
&size(90%){w}
すべてのwについて考えるので,Bの期待勝率は
&size(90%){+∞} &size(90%){+∞}
&size(200%){∫(}f(w)&size(200%){∫} f(X+a) dX&size(200%){)}dw
&size(90%){-∞} &size(90%){w+ε}
となる。
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(以下ではMaximaを使用しますが,計算結果に間違いがあった場合は,私の入力ミスの可能性が高いです)
たとえば,f(x)が正規分布とすると(以下明日以降追加)