期待勝率の計算 - 個人的なメモ帳(仮題）

実力分布関数によって期待勝率を求める

実力分布関数をf(x)とし，プレイヤーA，BのレーティングをそれぞれX，X＋aとする。

BがAに勝つためには，BがA以上の実力を発揮すればよい。
いま，Aがwの実力を出したとすると，Bはw以上の実力を発揮しなければいけない。その確率は
　　　　＋∞
　　　　∫ f(X＋a) dX　　　(εは＞0の小さな値)
　　　　w＋ε
となる。
(εはいくらでも小さくできるので0としても差支えない)
※　実際のレーティングは整数値をとることがほとんどだが，便宜上，連続値をとるものとして考える
よって，Aがwの実力を発揮したとき，Bが勝つ確率は，
　　　　　　　　＋∞
　　　　　　f(w)∫ f(X＋a) dX
　　　　　　　　w
すべてのwについて考えるので，Bの期待勝率は
　　　　　　＋∞　　＋∞
　　　　　　∫(f(w)∫ f(X＋a) dX)dw
　　　　　　－∞　　w＋ε
となる。

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(以下ではMaximaを使用しますが，計算結果に間違いがあった場合は，私の入力ミスの可能性が高いです)
たとえば，f(x)が正規分布とすると(以下明日以降追加)